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[쉼터] - 재미있는 자연속의 피보나치 수렬
2016년 10월 16일 22시 37분  조회:13983  추천:0  작성자: 죽림
  1. 피보나치 수열이 뭔가요?
  2. 자연에도 피보나치 수열은 존재한다
  3. 음악도 피보나치 수열을 따른다
    1. ┗ 피보나치 수열은 황금비와 어떤 관계가 있나요?

피보나치 수열은 자연을 닮았다고 합니다. 자연을 닮은 수가 있다니 신기하군요. 피보나치 수열이 무엇인가요? 그리고 어떻게 자연을 닮았는가요?

 

피보나치 수열이 뭔가요?

이탈리아의 수학자 피보나치(1170~1250)는1202년 토끼의 번식과 관련된 재미있는 문제를 소개했습니다.

“갓 태어난 토끼 한 쌍은 2개월 후부터 매달 한 쌍의 새끼 토끼를 낳습니다. 새로 태어난 토끼도 마찬가지입니다. 암수 토끼 한 쌍이 죽지 않고 계속 번식한다고 하면, 1년 뒤에는 모두 몇 쌍의 토끼가 있을까요?”

이 문제를 표로 정리하면 다음과 같습니다.

월 태어난 쌍 전체 쌍
지금 0 1
1개월 후 0 1
2개월 후 1 2
3개월 후 1 3
4개월 후 2 5
5개월 후 3 8
6개월 후 5 13
7개월 후 8 21
···    
 

매달 전체 토끼 암수 쌍의 수를 수열로 나타내면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ··· 과 같이 되는데, 이것이 바로 피보나치 수열입니다. 물론 12개월 후에는 233쌍이 됩니다.

자연에도 피보나치 수열은 존재한다

자연에는 흥미로운 수가 많습니다. 그냥 평범해 보이는 식물에도 놀라운 수학이 숨어 있을 때가 있지요. 솔방울과 해바라기가 한 예입니다. 솔방울을 뒤에서 자세히 보면, 시계 방향과 반시계 방향으로 나선이 나 있습니다. 이 나선의 개수를 세어 보면 8과 13입니다. 무엇이 신기하냐고요? 그럼 해바라기 씨를 한 번 보기로 해요. 해바라기 씨에도 솔방울처럼 시계 방향과 반시계 방향으로 나선이 있습니다. 해바라기 씨는 좀 복잡하니 꼼꼼히 세어 보아야 합니다. 나선이 시계 방향으로 34개, 반시계 방향으로 55개가 있습니다.

솔방울
솔방울
해바라기 씨
해바라기 씨

그렇다면 꽃잎은 어떨까요? 붓꽃은 3장, 채송화는 5장, 코스모스는 8장, 금잔화는 13장, 치커리는 21장, 질경이는 34장, ··· 의 꽃잎이 달려 있습니다.

    • 1자란(꽃잎 3장)
    • 2괭이밥(꽃잎 5장)
    • 3코스모스(꽃잎 8장)

그렇다면 왜 식물의 열매나 꽃잎, 잎차례와 같은 것들은 피보나치 수열을 따르고 있는 것일까요? 그건 피보나치 수열이 자연을 닮았기 때문입니다. 식물은 다양한 형태로 씨앗을 보호하거나 번식을 하려 합니다. 그럴 때 가장 편리한 것이 바로 피보나치 수열의 수입니다. 해바라기의 씨앗도 가장 좁은 공간에 최대한 많은 양의 씨를 품으르면 피보나치 수열의 수가 되어야 한다는 것이지요.

음악도 피보나치 수열을 따른다

피아노에는 흰색과 검은색 건반이 있습니다. 검은 건반은 2개 또는 3개씩 놓여 있어요. 또 한 옥타브(도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시, 도)에는 흰 건반이 8개, 검은 건반이 5개이고, 건반은 모두 13개입니다. 이 수들을 작은 수부터 차례로 늘어놓으면 2, 3, 5, 8, 13입니다.

 

2＋3＝5, 2＋5＝8, 5＋8＝13이므로 앞의 두 수를 더하면 그 다음 수가 되는 것을 알 수 있어요. 이러한 수의 배열을 피보나치 수열이라고 하는데, 피아노 건반에는 피보나치 수열이 숨어 있었네요.

벨라 바르톡(1881~1945)은 피보나치 수열을 음악에 충분히 활용한 작곡가입니다. 바르톡은 피보나치 수열에 따라 음악의 마디를 나누고 황금분할점2) 에 클라이맥스3) 를 두는 새로운 기법의 음악을 만들어 냈습니다. 수학과 음악을 절묘하게 조화시킨 것이지요.

피보나치 수열은 황금비와 어떤 관계가 있나요?

피보나치 수열은 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ···이다. 피보나치 수열을 이용하여 분수를 계속 만들어 가면 황금비(수식)에 가까워진다.

 

가장 아름답고 균형 있게 느껴진다는 황금비! 피보나치 수열이 황금비를 이루고, 자연은 피보나치 수열을 닮았다. 이처럼 피보나치 수열이 자연과 닮은 것은 우연히 아니라 수학이 자연의 일부이기 때문은 아닐까?
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자연의 구조 속에서 자주 발견되는 흥미로운 수열이 1202년 이탈리아의 수학자 피사의 레오나르드(Leonardo of Pisa, Fibonaci라고도 알려진)에 의해 발견되었다. 그는 태어나서 한 달 후에 새끼를 낳을 수 있는 토끼 한 쌍이 매달 새끼 한 쌍을 낳는다면 1년에 몇 마리가 되는지를 알아보는 문제에 도전했다. 레오나르도는 한 쌍이 한 달 후에 한 쌍의 토끼를 낳으면 토끼 쌍의 수는 (1, 1)이 되고 두 번째 달에는 두 쌍을 더 낳게 되어 토끼 쌍의 수는 (1, 1, 2)가 된다는 것을 알게 되었다.

이런 계산을 계속 해나가면 이전 수의 합이 다음 수가 되는 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 등으로 이루어진 수열을 얻을 수 있다. 이것이 피보나치 수열이다.

놀랍게도 피보나치 수열은 꽃잎의 배열, 솔방울의 구조(아래 그림 참조)와 같이 자연계에서 흔하게 발견된다. 그중에서도 8개의 열이 좌측으로 돌고 13개의 열이 우측으로 도는 구조로 되어 있는 파인애플은 살아 있는 피보나치의 기념비이다.
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'피보나치 수열' 자연신비 푼다


신록의 계절이 왔다. 꽃과 꽃잎 그리고 식물의 잎에서 피보나치 수열을 찾아보자.

이 수열은 식물뿐 아니라 고둥이나 소라의 나선구조에도 나타난다. 그리고 이 수열은 운명적으로 ‘신의 비율’인 황금비를 만들어낸다.

황금비는 피라미드 파르테논신전이나 다빈치 미켈란젤로의 작품에서 시작해 오늘날에는 신용카드와 담배갑의 가로 세로 비율까지 광범위하게 쓰인다. 그러나 인간만 황금비를 아름답게 느끼는 것은 아니다.

황금비는 태풍과 은하수의 형태, 초식동물의 뿔, 바다의 파도에도 있다. 배꼽을 기준으로 한 사람의 상체와 하체, 목을 기준으로 머리와 상체의 비율도 황금비이다. 이런 사례를 찾다보면 우주가 피보나치 수열의 장난으로 만들어졌는지도 모른다는 생각까지 든다.

이 수열은 12세기 말 이탈리아 천재 수학자 레오나르도 피보나치가 제안했다. 한 쌍의 토끼가 계속 새끼를 낳을 경우 몇 마리로 불어나는가를 숫자로 나타낸 것이 이 수열이다. 이 숫자는 1123581321345589144233…가 된다. 모든 숫자가 앞선 두 숫자의 합이라는 것을 알 수 있다.

주변의 꽃잎을 세어보면 거의 모든 꽃잎이 3장 5장 8장 13장…으로 되어 있다. 백합과 붓꽃은 꽃잎이 3장, 채송화 패랭이 동백 야생장미는 5장, 모란 코스모스는 8장, 금불초와 금잔화는 13장이다. 애스터와 치코리는 21장, 질경이와 데이지는 34장, 쑥부쟁이는 종류에 따라 55장과 89장이다.

고둥도 한 변의 길이가 피보나치 수열인 정사각형들이 만들어낸 나선 모양을 하고 있다.

피보나치(1170~1250)는 중세 이탈리아의 수학자로,

피보나치 수열은 1202년 <산수의 서>에서 처음 제기되었습니다.

 

1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5= 8...

 

이처럼 자신 앞의 두 수를 더하면 자신이 되는 수의 나열을 말합니다.

이런 피보나치 수열로 꽃잎의 수를 예측할 수 있습니다.

예를 들어, 장미의 꽃잎의 개수는 21개 입니다. 
1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21

 

데이지의 꽃잎의 개수는 34개
1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, 13+21=34

 

철쭉:1, 백합:1+2=3, 델피늄:2+3=5, 아네모네:3+5=8, 해바라기:5+8=13, 장미:8+13=21,

데이지:13+21=34, 키베라:21+34=55, 다알리아:34+55=89

 

꽃잎의 수와 피보나치 수열이 왜 일치하는 것일까요?
피보나치 수열에 따라서 꽃잎이 나게 되면 햇빛을 가장 장 받을 수 있기 때문입니다.

최소공간 속에 최대의 잎이나 꽃잎이 존재해야 하기 때문에 피보나치 수열을 따르게 됩니다.

 

그러나 피보나치 수열에 어긋나는 꽃도 있습니다. 
그 꽃은 바로 백합인데요, 백합의 꽃잎의 수를 확인해 보면 6개로 피보나치 수열과 맞지 않습니다.
그러나 사실 꽃잎이 6장으로 되어있는 식물의 경우, 3장은 꽃받침이라고 생각하면 됩니다.

백합의 꽃잎도 6장이 아닌 3장이며, 꽃잎처럼 보였던 나머지 3장은 꽃받침이었던 것입니다.

피보나치 수열은 해바라기나 데이지 꽃머리의 씨앗 배치에도 존재한다.

최소 공간에 최대의 씨앗을 촘촘하게 배치하는 ‘최적의 수학적 해법’으로 꽃은 피보나치 수열을 선택한다. 씨앗은 꽃머리에서 왼쪽과 오른쪽 두 개의 방향으로 엇갈리게 나선 모양으로 자리잡는다.데이지 꽃 머리에는 서로 다른 34개와 55개의 나선이 있고, 해바라기 꽃머리에는 55개와 89개의 나선이 있다.

피보나치 수열이 가장 잘 나타나는 것은 식물의 잎차례이다. 잎차례는 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식이다. 잎차례는 t/n으로 표시한다. t번 회전하는 동안 잎이 n개 나오는 비율이 참나무는 벚꽃 사과는 2/5이고, 포플러 장미 배 버드나무는 3/8, 갯버들과 아몬드는 5/13이다. 모두 피보나치 숫자다. 전체 식물의 90%가 피보나치 수열의 잎차례를 따르고 있다.

이처럼 잎차례가 피보나치 수열을 따르는 것은 이것이 잎이 바로 위의 잎에 가리지 않고 햇빛을 최대한 받을 수 있는 수학적 해법이기 때문이다.

피보나치 수열은 신비롭게도 황금비를 만들어낸다. 2/1 3/2 5/3 8/5…를 계속 계산하면 1.618…이란 황금비에 수렴한다.

음악의 거장 바르톡은 피보나치 수열에 따라 음악의 마디를 나누고 황금분할점에 클라이막스를 두는 새로운 음악을 제창하기도 했다.

서울대 김홍종 교수(수학)는 “전에는 식물의 DNA가 피보나치 수열을 만들어낸다고 생각했으나, 요즘에는 식물의 씨앗이나 잎이 먼저 나온 씨나 잎을 비집고 새로 자라면서 환경에 적응해 최적의 성장 방법을 찾아가는 과정에서 자연스럽게 피보나치 수열에 이르는 것으로 생각하고 있다”고 말했다.

김 교수는 “특히 최근에는 생물뿐 아니라 전하를 입힌 기름방울을 순서대로 떨어뜨려도 해바라기 씨앗처럼 퍼진다는 사실이 밝혀지면서 피보나치 수열과 황금비가 생물은 물론 자연과 우주 어디에나 숨어있다고 믿는 수학자가 더욱 늘고 있다”고 말했다.

 
솔방울의 구조
솔방울의 구조
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1170-1240 이탈리아 수학자

레오나르도 피보나치는 이탈리아 수학자로서 고대와 아라비아, 인도 문화에서의 수학적 지식에 대한 자료를 수집하고 보충해 놓았던 사람이다. 그는 대수학과 정수론이라는 수학 분야에 많은 공헌을 했다.

그는 1170년 상업 도시였던 이탈리아의 피사에서 태어났다. 그는 그 곳에서 상업에 필요한 계산의 기초들을 배웠다.

그가 20살쯤 되었을 때 알제리아에 가서 인도 기수법과 아라비아의 계산 방법, 지식을 배우기 시작했고 좀 더 광범위한 여행을 통해서 그의 지식은 나날이 늘어갔다.

피보나치는 이러한 경험을 살려 그가 알고 있던 상업 계산 기술을 향상시키고 그리스 수학자인 디오판토스와 유클리드와 같은 고대의 수학자들의 업적을 확장시켰다.

아직까지 남아 있는 피보나치의 업적, 그는 정수론, 상업 수학의 실용 문제와 개관, 대수학에서의 응용 문제, 재창조(recreational) 수학에 대해 저술했다.

재창조 수학에 대해 쓴 그의 논문들은 주로 이야기 문제로서 구성되어 있으며, 이 논문들은 일찍이 13세기에 보여준 고대의 정신적 귀감이 되었다.

이러한 문제는 그가 발명한 피보나치 수열(1, 2, 3, 5, 8, 13,...)과 같은 회귀 수열의 합과 연관되어 있다.

이 수열의 각 항은 '피보나치 수' - 이 수열에서 두 수의 합은 다음 항의 수가 된다 - 라고 불려진다.

그는 어떤 entry에 대한 값을 계산하는 문제를 풀었다. 그는 1240년 시 행정에 대한 공적 공로와 그의 업적의 중요성을 인정받아 피사 공화국에서 연봉을 받았다.

사람들은 1240년에 피보나치가 죽었다고 믿고 있다.

 

피보나치 수열은 12세기말 이탈리아의 수학자 레오나르도 피보나치가 ‘한쌍의 토끼가 계속 새끼를 낳으면 몇마리로 불어날까?’를 연구하면서 처음 제안한 이후 파르테논 신전, 꽃잎의 수, 성장하는 나뭇가지의 수, 소라나 고동의 나선 등 건축과 자연의 신비를 푸는 열쇠로도 알려져 있고, 영화 ‘다빈치 코드’에서 자크 소니에르가 죽어가면서 남긴 첫 번째 암호이기도 합니다. 한 숫자가 앞의 두 숫자를 더한 합과 같게 나열되는 피보나치 수열은 가장 잘 알려진 암호 전달 방법중의 하나입니다.
사실, 이 피보나치 수가 처음 언급된 문헌은 기원전 5세기 인도의 수학자 핑갈라가 쓴 책입니다. 유럽에서 피보나치 수가 처음 연구된 것은 앞에서 말한대로 토끼 수의 증가에 대해서 이야기하면서 부터입니다.
문제의 구체적인 내용은 아래와 같습니다.
->“한쌍의 토끼가 계속 새끼를 낳으면 몇 마리로 불어날까?” 
-> n 번째 달의 토끼 수는 ?
이때의 전제 조건은 다음과 같습니다.
1)첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍만이 존재한다. 
2)두 달 이상이 된 토끼는 번식 가능하다. 
3)번식 가능한 토끼 한 쌍은 매달 새끼 한 쌍을 낳는다. 
4)토끼는 절대 죽지 않는다.
이때 n번째 달에 a 쌍의 토끼가 있었고, 다음 n+1 번째 달에는 새로 태어난 토끼를 포함해 b 쌍이 있었다고 하면, 그러면 그다음 n+2 번째 달에는 a+b 쌍의 토끼가 있게 됩니다. 이것은 n번째 달에 살아있던 토끼는 충분한 나이가 되어 새끼를 낳을 수 있지만, 바로 전달인 n+1번째에 막 태어난 토끼는 아직 새끼를 낳을 수 없기 때문입니다.
재미있지요?
사실 피보나치 수열 자체는 그리 의미가 있는 수열은 아닙니다. 다만 재미있는 여러 내용 때문에 지능 테스트 문제에서 자주 다루는 주제입니다. 피보나치 수열의 의미는 바로 황금비(golden ratio)라고하는 의미있는 숫자를 가지고 있기때문입니다.
잠깐 ‘다빈치코드’라고하는 소설을 생각해봅시다. 도입부에서 시작되는 살인사건부터 이 소설을 즐기기 위해서는 암호를 풀어야 하며 암호를 풀기위해서는 약간의 기초 지식이 필요합니다. 다음과 같은 것들입니다.
1) 피보나치 수열(Fibonacci Series) : 수학자 피보나치가 꽃잎의 개수, 토끼가 새끼를 낳는 숫자, 나뭇가지의 개수 등 자연현상에서 발견한 수열로 1, 1, 2. 3, 5, 8, 13, 21, 34…이다. 처음과 두번째가 1인 이유는 연속된 두 숫자의 합이 다음 숫자와 같아야 한다는 규칙에 맞추기 위해서입니다.
2) PHI : 그리스 알파벳의 21번째 글자인 φ로 1.618을 뜻한다. PHI는 우주에서 가장 아름다운 숫자로 간주됩니다. 이 숫자는 피보나치 수열에서 나온 것인데, 연속된 두 숫자를 서로 나누어보면 그 몫이 거의 1.618이 나오기 때문. 일부 수학자들은 식물, 동물, 인체에 ‘PHI:1’이라는 비율이 적용된다고 주장하기도 합니다. 소설 <다빈치 코드>에도 이런 설명이 나오는데 랭던이 PHI에 대해 강의하는 장면에서 그는 “레오나르도 다 빈치가 그린 <비트루비우스의 인체 비례>도 인체와 PHI가 얼마나 큰 연관이 있는지를 보여준 사례”라고 설명합니다.
3)애너그램(Anagram) : 알파벳 철자의 순서를 바꿔 새로운 단어를 만드는 놀이. 자크가 남긴 ‘오 드라코 같은 악마여!’(O, Draconian Devil!) 오, 불구의 성인이여!’(Oh Lame Saint!) 중 앞 문장을 애너그램으로 바꾸면 ‘레오나르도 다 빈치!’(Leonardo da Vinci!)가 됩니다.
자세한 내용은 아래의 link를 참고하시기 바랍니다. 그리고, 황금비와 피보나치 수열의 이야기는 계속됩니다.
 

 

 

피보나치 수열(Fibonacci數列)
우리가 의식하지 못하지만 자연 속에는 기가 막힌 수학적 사실이 숨어 있다. 가장 대표적인 것이 피보나치 수열을 예로 들 수 있다.
피보나치 수열이란 12세기 이탈리아 수학자 '레오나르도 피보나치'가 발견했다 해서 그의 이름을 따서 붙여진 이름이다. 그 의미는 의외로 간단하다. 즉 전 수와 그 수를 합하면 다음 수가 나오는 수열을 의미한다. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …와 같은 수열을 예를 들 수 있다. 이 수열을 보면 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13과 같이 전 수와 그 수를 합하면 다음 수가 나오는 것을 알 수 있을 것이다. 이것을 피보나치 수열이라고 말한다.
이 수열이 뭐 그렇게도 대단하단 말인가? 하지만 대단하다. 왜냐하면 이 수열은 단순한 규칙의 발견을 넘어선 것이기 때문이다. 뒤에서 언급하겠지만 이 수열에서 황금비가 등장하고 자연계의 많은 사물이 이 수열로 이루어졌다는 사실이 드러났기 때문이다.

본 이미지는 링크 URL이 잘못 지정되어 표시되지 않습니다.

한 예로 꽃잎의 개수도 피보나치 수열로 이루어져 있다. 극히 예외적인 꽃잎만 제외하고는 피보나치 수열로 이루어졌다. 백합과 붓꽃은 3장이고, 채송화와 벚꽃과 목련은 5장, 모란과 코스모스는 8장이다. 꽃잎이 많은 꽃들도 예외가 아니다. 금잔화는 13장, 치커리는 21장, 질경이와 데이지는 34장, 쑥부쟁이는 55장 혹은 89장의 꽃잎이 달려 있다. 놀랍지 않은가? 이 사실이 의심스럽다면 지금 당장 마당으로 나가 꽃잎의 수를 헤아려 보라. 놀랍게도 피보나치 수열로 이루어졌다는 것을 발견할 수 있을 것이다.
그런데 최근에 더욱 놀라운 사실들이 발견되었다. 꽃잎이 이렇게 정말 기가 막히게 규칙적으로 배열되어 있다는 사실을 발견했지만 왜 그런지 이유까지는 잘 몰랐는데 그 이유가 과학이 발전하면서 밝혀진 것이다. 식물들이 이렇게 피보나치 수열을 이루고 있는 까닭은 먼저 햇빛을 받기에 가장 유리하다는 것이다.
이뿐이 아니라 피보나치 수열을 이룰 때 암술과 수술을 가장 잘 보호할 수 있다는 사실도 밝혀졌다. 꽃이 활짝 피기 전까지 꽃잎의 역할은 봉오리를 이루어 암술과 수술을 보호하는 역할을 한다. 이 때 꽃잎들이 이리저리 겹치며 가장 효율적인 모양으로 암술과 수술을 감싸려면 피보나치 수만큼의 꽃잎이 있어야 한다는 사실이 밝혀진 것이다. 또한 나비나 벌들과 같은 곤충들을 끌어 모으는 데도 피보나치 수열을 이루어야 더 잘 유인할 수 있다는 사실 등이 밝혀지고 있다.
해바라기 씨에도 피보나치 수열이 숨어 있다. 해바라기 씨가 박힌 모양을 잘 보면, 오른쪽과 왼쪽으로 도는 두 가지 나선을 발견할 수 있다. 이 때, 좌우 나선의 수를 보면 하나가 21이고 다른 것은 34, 하나가 34이면 다른 것은 55 하는 식으로 두 개의 연이은 피보나치 수로 구성되어 있는 것을 볼 수 있다.
이와 같은 예들은 흔히 창조론자들의 주장을 뒷받침하는 근거가 되기도 한다. 누군가 이 세상을 만들 때 완벽하게 계획하지 않았다면 이런 법칙으로 구성되었을 리가 없다는 것이다. 수학적인 근거로 볼 때 분명 일리가 있는 이야기이다.
인간이 아직 발견하지 못한 또 다른 피보나치 수열이 아직도 자연에는 많이 숨어 있을 것이다..

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자연 속에 감추인 -황금비율 법칙(피보나치 법칙)


자연이 아름답게 보이는 이유는 무엇일까? 


자연의 아름다움을 보면 우리의 마음이 


편안해지고 안정되는 이유는 무엇일까? 


그것은 자연은 어떤 규칙(피보나치수열)을 


따르고 있고 그런 규칙적인 질서_규칙과 질서- 속에 조화와 


아름다움의 상징인 황금비가 숨겨져 있기 때문이다. 


꽃잎의 수에, 잎차례의 규칙 속에, 씨앗의 배열 모습 속에, 


나무의 가지치기 형식 속에, 등각 나선구조를 하고 있는


여러 자연물 속에 피보나치수열을 따르는 질서와 아름다움의 


황금비가 숨겨있는지 마음의 눈을 떠 찾아보자!
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<피보나치수열과 황금비>


피보나치수열이란 12세기말 이탈리아의 수학자 


레오나르도 피보나치가 처음 제안한 규칙적인 수의 배열을


말하는데 배열된 수를 살펴보면 인접한 두 수의 합이 다음에 


나올 수가 된다는 수학적인 원리가 있다.


1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89......
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피보나치 수열에서 뒤의 수를 앞의 수로 나누어 보면 


재미있는 결과가 나오는데 그 수가 증가할수록 어느 


일정 수치 즉 조화와 아름다움을 상징하는 비로 알려진


황금비 1.618이란 숫자에 접근한다는 것이다. 


2/1=2 3/2=1.5 5/3=1.666 ....


피보나치수열이 단순한 수의 배열이라기 보다는 


인간의 시각에 아름답고 조화속의 안정감을 느낄 수 있는 


황금비의 비밀이 숨겨있다는 것은 대단한 자연의 신비가 아닐 수 없다.
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<꽃잎의 수를 세어보자>


우리 주위에 피어있는 꽃잎의 수를 세어보면 나팔꽃 1장,


2장, 백합과 붓꽃은 3장, 벚꽃. 사과꽃. 채송화. 패랭이는 5장, 


코스모스 8장, 금불초. 금잔화는 13개, 루드베키아 21장, 


질경이와 데이지는 34장, 쑥부쟁이는 종류에 따라 55장과 89장으로 


꽃잎 수가 피보나치수열인 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... 중 하나임을 알 수 있다. 



꽃잎이 4장인 십자화과와 몇몇 예외적인 경우를 제외하고 


대부분의 꽃잎의 수가 피보나치수열에 해당하는 수를 따른다.
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잎차례를 관찰해 보자> 
잎차례란 식물의 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식을 말하며


전체 식물의 90%가 피보나치수열을 따라 규칙적이고 질서 있게 잎이 난다.


잎차례는 기호로 t번 회전하는 동안 n개의 잎이 나오는 비율인 t/n으로 표시하는데 


여기서 t와 n의 수는 피보나치수열(1 2 3 5 8 9 13 21...)을 따르는 수로 구성되어 진다. 
벚꽃, 사과는 2/5, 포플러. 장미. 배. 버드나무는 3/8, 갯버들.


아몬드는 5/13 의 잎차례를 갖는다. 


잎차례가 피보나치수열을 따름으로 잎들이 질서 있게


배열됨으로 잎이 바로 위의 잎에 가리지 않고 


최대한 많은 햇빛을 받을 수 있게 된다. 


또한 잎차례의 t와 n의 숫자가 커갈수록 t/n 이 


조화와 아름다움의 상징인 황금비 0.618..에 


근접함을 통해 모든 잎들이 최적의 상태로 햇빛을 


고르게 받을 수 있는 잎차례는 황금비임을 알 수 있다.


<씨앗의 배열>

해바라기 꽃 머리 안에서 씨앗이 배열된 모습을 


자세히 살펴보면 오른쪽과 왼쪽 두 개의 엇갈린 나선형


곡선을 따라 씨앗이 배열된 것을 알 수 있다. 


각각의 나선 개수를 세어보면 나선의 개수가


피보나치수열을 따르고 있음을 확인 할 수 있다.


해바라기 - 오른쪽 나선 개수 : 55개

왼쪽 나선 개수 : 89개

데이지 - 오른쪽 나선 개수 : 34개

왼쪽 나선 개수 : 55개


솔방울 - 오른쪽 나선 개수 : 8개

왼쪽 나선 개수 :13개

꽃 머리 안의 씨앗이 피보나치수열을 따라 배열됨으로 

식물은 최소공간에 최대한 많은 씨앗을 

촘촘하게 배치할 수 있게 됨을 알 수 있다.
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<나무의 가지치기>



나무는 성장하면서 원 둥치에서 가지들을 내게 된다.



이렇게 나무가 자라면서 처 나가는 가지의 숫자도



피보나치수열을 따라 늘어남을 관찰할 수 있다.

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<등각나선구조 속의 피보나치수열>



피보나치수열을 이용하여 황금 직사각형들을


연속적으로 그린 후 반지름이 1, 2, 3, 5, 8인 호들을 


연결하면 점점 커지는 하나의 아름다운 나선이 그려지는데


자연계의 앵무조개, 초식동물의 뿔 뿐만 아니라


태양계의 행성들의 배열과 은하계의 형태 등도 이 황금 등각나선 구조를 따른다.
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<황금비(황금 분할)>



황금비란 인간에게 호감과 안정감 그리고 아름다움을 주는


가장 조화가 잡힌 비율로 자연계에서 쉽게 관찰되고 


아름답고 균형 잡힌 인간의 신체 각 마디마디 구조에도 잘 나타나 있다.


신기하게도 황금비율을 응용해 만든 물건이나 


건축물 등은 다른 비율을 사용해 만든 것에 비해 인간의 눈으로 볼 때


가장 편안함과 안정감을 준다.



역사적으로 고대 이집트의 불가사의한 피라미드는 황금비를


이용해 만들어져 가장 튼튼하고 안정된 건축물로 찬사를 받고 있으며, 


고대 그리스에서 아름다움과 안정감, 균형을 모두 중시해 만든 걸작품인


파르테논 신전과 비너스상이 아름답고 안정감 있게 보이는 것도


황금비의 공식을 이용하여 제작되었기 때문이다.


과거 뿐 아니라 현대에도 황금비는 건축, 조각, 회화, 공예 등


조형예술분야에서 널리 사용되고 있으며 신용카드나 명함, 창문, 책 등


우리 생활 주변에서도 황금비를 이용해 만들어진 상품들을 많이 찾아볼 수 있다.

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실험에 의하면 사람들에게 무작위로 여러 가지의 사각형 모형을 제시하고 



그중에서 그들의 눈에 가장 안정적으로 느껴지거나 



또는 눈에 제일 먼저 들어오는 사각형을 고르라면 문화권, 



인종, 성별, 연령에 관계없이 대개의 사람들은 황금비율을 내재한 직사각형을 고른다.

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또한 두 개의 막대기를 주고 십자가를 만들어 보라 하면

거의 모든 사람들은 황금분할의 점에 근사한 곳을 교차해 십자가를 만든다.

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다양한 황금비 (황금분할) 도형

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황금분할의 구도가 내재된 직사각형

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